Формули на Виет НВО
Знания необходими за НВО
Изразяват зависимостите между коефициентите на даден полином и неговите корени. Тук разглеждаме формулите в случай на квадратно уравнение. Това е част от материала за НВО и кандидатстудентски изпити. А ето и въпросната зависимост формулирана в две теореми:
Теорема на Виет: Ако квадратното уравнение ax2+bx+c=0, a ≠ 0 има корени x1 и x2, то x1+x2=-b/a и x1x2=c/a
Обратна теорема на теоремата на Виет: Ако за числата x1 и x2 са в сила равенствата x1+x2=-p и x1x2=q, то x1 и x2 са корени на квадратното уравнение x2+px+q=0,
Формули на Виет НВО
Знаци на корените
С помощта на формулите на Виет можем да определим знаците на корените на квадратното уравнение без да го решаваме. Тъй като в гимназиалния етап на обучение се разглеждат реални корени, необходимо условие е да имаме положителна дискриминанта. И така в сила са следните твърдения:
* Корените са с различни знаци, ако е изпълнено x1x2 <0, което е еквивалентно на c/a<0. Тук проверка на дискриминантата не е нужна!
* Корените са с еднакви знаци, ако е изпълнено x1x2<0, което е еквивалентно на c/a>0. Заедно с това за да имаме реални корени е необходимо b2-4ac>=0
* Корените са положителни числа, ако са изпълнени едновременно три условия. Първо за да имаме реални корени е необходимо b2-4ac>=0. Второ x1x2<0, което е еквивалентно на c/a>0. И трето x1x2>0, еквивалентно на -b/a>0.
* Корените са отрицателни числа, ако са изпълнени едновременно три условия. Първо за да имаме реални корени е необходимо b2-4ac>=0. Второ x1x2<0, което е еквивалентно на c/a>0. И трето x1x2<0, еквивалентно на -b/a<0.
Пресмятане на симетрични изрази
Една често решавана задача решавана с помощта на формулите на Виет е пресмятането на симетрични изрази. Симетричен израз е този, който не променя вида си при смяна местата на променливите. Симетричните изрази се представят така, че да зависят само от сбора и произведението на корените на квадратното уравнение. Ето и един пример:
Да се пресметне x12 x22.
Постъпваме по следния начин: Допълваме израза x12 x22 до точен квадрат, добавяики 2x1x2 и изваждайки го за да не променим стойността му. Получаваме, че x12 x22 = (x1+x2)2 -2x1x2. Остава само да приложим теоремата на Виет и задачата е решена.
Формули на Виет НВО
Следващия път ще продължим с примерни задачи и решенията им. Ако сме ви заинтригували за повече информация ни следете във facebook. Също може да посетите и сайта ни Учебен Център – GoEdu
.