Универсална формула на Сипсон за обем
Съвсем човешки и разбираем е стремежа за обобщаване на дадено знание. В случая говорим за универсална формула за определяне обемите на геометрични тела.
Наистина ли съществува такава формула?
Орговорът е положителен. Формулата принадлежи на Симпсън и има вида: V=h/6(B1+4B2+B3).
В дадената формула:
- V – обемът на тялото
- h – височината му
- B1 – площта на долната основа
- B2 – площта на средната основа
- B3 – площта на долната основа
Дадената формула важи, както за призма, пирамида, пресечена пирамида, конус, цилиндър, така даже и за кълбо.
Томас Симпсън е британски математик (1710–1761) известен най-вече с предложеното от него правило за приблизително пресмятане на определен интеграл. Въпреки, че както при много други неща в науката авторството му е спорно. Същото правило е предложено 100 години преди това от Кеплер.
Да проверим доколко това е вярно за всеки един от случайте:
- за призма и цилиндър
- за пирамида и конус
- и накрая за кълбо
И двете тела имат еднакво напречно сечение – B по цялата си височина. Тогава формулата ще изглежда така: V=h/6(B+4B+B)=Bh
В този случай имаме за сечение на долната основа B, горната основа има нулева площ, а що се отнася до средната тя е 4 пъти по малка от долната. Окончателно получаваме: V=h/6(B+4B/4+0)=Bh/3
Площта на долната и горната основа е 0. Средната основа е кръг с площ πR, където R е радиуса на сферата. Замествайки в универсалната формула получаваме: V=h/6(0+4πR+0)=4/3πR
Всичко съвпада с познатото ни от учебника по математика за 6 клас.
Оказва се, че представената формула има още едно достойнство – може да се използва и за намиране площта на равнинни фигури. Единствено трябва да заменим обема с площ, а площите с дължините на съответните основи. Например за трапец ще имаме:
S=h/6(a+4(a+b)/2+b)=(a+b)h/2.
Това също отговаря на познатата ни формула за лице на трапец. По подобен начин процедираме и с другите равнинни фигури.
Универсална формула на Сипсон за обем
Ако сме ви заинтригували може да ни последвате във Facebook или на сайта ниУчебен Център – GoEdu.
От месец октомври планираме стартиране на курсове по математика за ученици от 5 до 12 клас – присъствено или online.